\documentclass[b4paper,twocolumn,10pt]{jarticle}
\usepackage{fleqn,epic,eepic,eepic2,amssymb,schlmath}
\Shiken%% 試験用の余白が少ない設定
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\def\LabelToi{[\theToi]}
\def\LabelSubSubToi{(\roman{SubSubToi})}
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\def\Tab{\hskip20ptminus15pt}%
\def\LabelNo{\KANA\theLocalNumber\hskip 1pt plus 5pt minus 1pt}
\def\NO{\fbox{\bf \No}}
\def\NNO{\fbox{\bf \No\No}}
\def\NNNO{\fbox{\bf \No\No\No}}
\def\NNNNO{\fbox{\bf \No\No\No\No}}
\def\LabelNo{\KANA\theLocalNumber}
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\def\Tab{\hskip30pt}
\def\LabelToi{{\bf 第\theToi 問} }
\def\LabelSubToi{[\theSubToi] }
\def\LabelSubSubToi{(\theSubSubToi) }
\BoxLineHuto%空欄の枠を太くする。
%\setlength{\fboxrule}{1.0pt}%囲み罫線の太さを変える　標準は{0.4pt}
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%	空欄の高さを変更した
%
\def\BoxHeight{.8}
\twocolumn[\TitleNoName{H11センター数学II・B  99/01/16　NO1}]

\Toi~{\bf (必答問題)}(配点~30)

\SubToi~関数$y=2\cos 3x$の周期のうち正で最小のものは$\NNNO \DEG$である。

$0\DEG \leq x \leq 360\DEG$のとき、関数$y=2\cos 3x$において、$y=2$となる$x$は

\NO 個、$y=-2$となる$x$は\NO 個である。

　また、$y=\sin x$と$y=2\cos 3x$のグラフより、方程式
	\[ \sin x=2\cos 3x \]
は$0\DEG \leq x \leq 360\DEG$のとき\NO 個の解をもつことがわかる。\vfill

\SubToi~実数$x$に対して、$y=5\cdot3^x+2\cdot3^{-x},z=5\cdot3^x-2\cdot3^{-x}$とおくと
	\[ y^2-z^2=\NNO \]
である。

　$z=0$となるのは
	\[ 3^x=\sqrt{\FRAC{\NO}{\NO}} \]
のときであり、$y$は
	\[ x=\FRAC{\NO}{\NO} \Bigl(\log_3 {\NO}-\log_3 {\NO} \Bigr) \]
のとき最小値$\NO\sqrt{\NNO}$をとる。\vfill

\ResetNo[0]

\Toi~{\bf (必答問題)}(配点~30)

　　放物線$y=-x^2+2xをC_1とし、C_1上に$点P$(a,~-a^2+2a)$をとる。

　ただし、$aは0<a<2$を満たす定数とする。
\SubSubToi[1]~Pにおける$C_1$の接線$\ell_1$の方程式は
	\[ y=\NO \Bigl(\NO-\NO \Bigr) x+a^{\fbox{\bf エ}} \]
である。原点Oにおける$C_1$の接線を$\ell_2$とすると、$\ell_1,\ell_2$との交点Qの
\ResetNo[4]座標は$\Bigl(\FRAC{\NO}{\NO},~\NO \Bigr) $である。\vfill

\SubSubToi~\ResetNo[-3]直線$x=\FRAC{\NO}{\NO},\ell_2$および$C_1$で囲まれた図形の面積$S_1$は\ResetNo[7]
	\[ S_1=\FRAC{a^{\fbox{\bf エ}}}{\ResetNo[8]\NNO} \]
である。\vfill

\SubSubToi~放物線$y=px^2+qx+rをC_2$とする。$C_2$が3点O,P,Qを通るとき、

$p=\NNO,~q=a+\NO,~r=\NO$となる。

　このとき$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S_2$は
	\[ S_2=\FRAC{a^{\fbox{\bf ソ}}}{\ResetNo[15]\NO} \]
である。したがって
	\[ S_2=\NO S_1 \]
が成り立つ。\vfill
\newpage

\ResetNo[0]
\Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20)

　$a$を正の実数とする。三角形ABCの内部の点Pが
	\[ 5\VEC{\rm PA}+a\VEC{\rm PB}+\VEC{\rm PC}=\VEC{0} \]
を満たしているとする。このとき
	\[ \VEC{\rm AP}=\FRAC{\NO}{~a+\NO~}\,\VEC{\rm AB}~+~\FRAC{\NO}{~a+\NO~}\,\VEC{\rm AC} \]
が成り立つ。

　直線APと辺BCとの交点Dが辺BCを 1 : 8 に内分するならば、

$a=\NO$となり、$\VEC{\rm AP}=\FRAC{\NO}{\NNO}\,\VEC{\rm AD}$となる。このとき、点Pは

線分ADを\NO ~:~\NO に内分する。

　さらに、$\bigl| \VEC{\rm AB}\bigr|=2\sqrt{2},~\bigl| \VEC{\rm BC}\bigr|=\sqrt{10},\bigl| \VEC{\rm AC}\bigr|=\sqrt{6}$ならば
	\[ \InPro{\rm AB}{\rm AC}=\NO \]
である。したがって
	\[ \bigl| \VEC{\rm AP}\bigr|^2=\FRAC{\NNNO}{\NNO} \]
\vfill
\ResetNo[0]

\Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20)

　実数係数の方程式
	\[ x^3+ax^2+bx+c=0 \cdots\cdots\cdots\MARU{1} \]
が$x=2$を解にもつとするこのとき
	\[ c=-\NO~a-\NO~b-\NO \]
であり
	\[ x^3 + ax^2 + bx + c \]
	\[{}\,=(x - 2)\Bigl\{ x^2 + (a+\NO)~x + \NO~a + b + \NO \Bigr\} \] 
となる。

　$\MARU{1}$の解を$2,\Gr1,\Gr2$とし、複素数平面において3点~$2,\Gr1,\Gr2$が正方形の異なる三つの頂点になっているとする。さらに、この正方形の一辺の長さが$5\sqrt{2}$で、$\Gr1,\Gr2$の実部が負であるならば、$\Gr1,\Gr2$は
	\[ \NNO ~\pm~ \NO~i \]
である。このとき
	\[ a=\NO,~b=\NNO,c=~\NNNO \]
となる。\vfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\twocolumn[\TitleNoName{H11センター数学II・B  99/01/16　NO2}]
\ResetNo[0]

\Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20)

　座標平面上に9個の点
\begin{eqnarray*}
	{\rm  P}_1(0,2)~ & 　{\rm  P}_2(1,2)~ & 　{\rm  P}_3(2,2)  \\
	{\rm  P}_4(0,1)~ & 　{\rm  P}_5(1,1)~ & 　{\rm  P}_6(2,1)  \\
	{\rm  P}_7(0,0)~ & 　{\rm  P}_8(1,0)~ & 　{\rm  P}_9(2,0)
\end{eqnarray*}
をとる。袋の中に${\rm  P}_1,{\rm  P}_2,\cdots,{\rm  P}_9$と書かれた9個の玉が入っている。

　この袋から2個の玉を取り出すとき、取り出した2個の玉に書かれている2点に対し、その距離の2乗を$X$とする。

\SubSubToi~$X=1となる確率は\FRAC{\NO}{\NO}$である。
\SubSubToi~$X=5となる確率は\FRAC{\NO}{\NO}$である。
\SubSubToi~$X=8となる確率は\FRAC{\NO}{\NNO}$である。
\SubSubToi~確率変数$X$は\NO 通りの値をとり、その平均(期待値)は\NO であり、分散は\NO である。\vfill

\ResetNo[0]

\Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20)

　整数15は次のように連続した二つ以上の正の整数の和として表すことができる。
	\[ 15=1+2+3+4+5=4+5+6=7+8 \]
　1より大きい整数$n$について、これを連続した二つ以上の正の整数の和で表すことができるかどうかを調べる
プログラムを次のように作った。
\begin{quote}

%\mathsf
\sf
	110 INPUT "n=";N

	120 FOR J=1 TO N-1

	130 ~~~W=0

	140 ~~~FOR K=J TO N

	150 ~~~~~~PRINT K;

	160 ~~~~~~W=W+K

	170 ~~~~~~IF W$>$N THEN PRINT "No" : GOTO 200

	180 ~~~~~~IF W=N THEN PRINT "Yes" : GOTO 200

	190 ~~~NEXT K

	200 NEXT J

	210 END
\end{quote}

\SubSubToi~このプログラムを実行し、{\sf n=?}に対して10を入力すると、新たに表示される最初の2行は

%\[
%\begin{array}{lllll}
　　　　\NO 　\NO 　\NO 　\NO 　{\sf Yes}

　　　　\NO 　\NO 　\NO 　\NO 　{\sf No}

%\end{array}
%\]
となる。\vfill

\SubSubToi~{\sf n=?}に対して21を入力すると、{\sf Yes}が\NO 回,{\sf No}が\NNO 回表示される。\vfill

\SubSubToi~2から9までの数を{\sf n}として、に対してこのプログラムを実行する。このとき、{\sf Yes}が1回も表示されないnを小さい順に書くと$\NO,~\NO,~\NO$である。\vfill

\end{document}