\documentclass[b4paper,twocolumn,fleqn]{jarticle} \usepackage{epic,eepic,eepic2,amssymb,amsmath,schlmath} \Shiken%% 試験用の余白が少ない設定 \setlength{\columnseprule}{0.4pt} \setlength{\columnsep}{2zw} \setlength{\mathindent}{50pt} \pagestyle{empty} \def\HIDDEN{0} \def\LabelNo{\KANA\theLocalNumber\hskip 1pt plus 5pt minus 1pt} \def\MTab{\hspace{1cm}} \def\Tab{\hskip30pt} \def\LabelToi{{\bf 第\theToi 問} } \def\LabelSubToi{[\theSubToi] } \def\LabelSubSubToi{(\theSubSubToi) } \BoxLineHuto%空欄の枠を太くする。 %\setlength{\fboxrule}{1.0pt}%囲み罫線の太さを変える　標準は{0.4pt} \def\l{\left} \def\r{\right} \def\Bl{\Bigl} \def\Br{\Bigr} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % 空欄の高さを変更した % \def\BoxHeight{.8} \twocolumn[\TitleNoName{H12センター数学I・A 2000/01/15　NO1}] \Toi~{\bf (必答問題)}(配点~40) \SubToi~$a$ を実数とし，$x$ の 2 次関数 \[ y =(a^2+1)x^2+(2a-3)x-3 \] のグラフを $C$ とする。 \SubSubToi~グラフ $C$ が 点 $(-1,\ 0 )$ を通るとする。このとき，$a={\NO}$ であり， グラフ $C$ と $x$ 軸との交点は $(-1,\ 0 )$ と $\l(\FRAC{{\NO}}{{\NO}},\ 0 \r)$ である。また，$x$ が $0\leq x\leq 3$ の範囲であるとき，この 2 次関数の最小値は $\FRAC{{\NNNO}}{{\NO}}$ であり，最大値は ${\NNO}$ である。\vfill \SubSubToi~グラフ $C$ が $x$ 軸の $x\geq 3$ の部分の 1 点を通るような $a$ の範囲は \[ {\NNO} \leq a \leq \FRAC{{\NO}}{{\NO}} \] である。\vfill \SubToi~東西に延びる道路が南北の結ばれている図のような街路がある。 ある人が地点Pから東に向かって出発し， 以下の約束(a), (b) に従い，この街路を進み， 地点 A, B, C, D のいずれかに到達するものとする。 \def\LabelSubSubToi{(\alph{SubSubToi}) } \SubSubToi[1]~西から分かれ道に至ったときは，さいころを振り， 3 または 6 の目が出た場合は東に進み， 他の目が出た場合は南北の道へ進むものとする。 \SubSubToi~北または南から分かれ道に至ったときには， 東へ進むものとする。 \bigskip %\fbox{\hbox{ \begin{picture}(1000,400) \put(500,0){\makebox(0,0)[b]{南}} \put(500,400){\makebox(0,0)[t]{北}} \put(50,200){\makebox(0,0)[l]{西}} \put(950,200){\makebox(0,0)[r]{東}} \multiput(200,100)(0,70){4}{\line(1,0){600}} \put(300,240){\line(0,1){70}} \put(400,170){\line(0,1){70}} \put(500,100){\line(0,1){70}} \put(600,170){\line(0,1){70}} \put(190,240){\makebox(0,0)[r]{P}} \put(200,240){\makebox(0,0)[c]{・}} \put(810,310){\makebox(0,0)[l]{A}} \put(800,310){\makebox(0,0)[c]{・}} \put(810,240){\makebox(0,0)[l]{B}} \put(800,240){\makebox(0,0)[c]{・}} \put(810,170){\makebox(0,0)[l]{C}} \put(800,170){\makebox(0,0)[c]{・}} \put(810,100){\makebox(0,0)[l]{D}} \put(800,100){\makebox(0,0)[c]{・}} \end{picture} %}} \bigskip \def\LabelSubSubToi{(\theSubSubToi) } \SubSubToi[1]~A に到達する確率は \FRAC{\NO}{\NO} である。 \SubSubToi~D に到達する確率は \FRAC{\NO}{\NNO} である。 \SubSubToi~B または C に到達する確率は \FRAC{\NO}{\NNO} である。 \SubSubToi~A, B, C, D に到達するとき， それぞれ 200 円，1800 円，1800 円，900 円の賞金を受け取るものとする。 このとき，受け取る賞金の期待値は \NNNO 円である。 \vfill \newpage \ResetNo[0] \Toi~{\bf (必答問題)}(配点~40) \SubToi~$k$ を実数とし，$x$の整式 A, B, Q を \begin{eqnarray*} A&=&x^4+2x^3-5x^2-5x-4k^2+2k+10\\ B&=&x^2+x-2k-3\\ Q&=&x^2+x+2k-3 \end{eqnarray*} とする。さらに，$R=A-BQ$ とおく。このとき \SubSubToi~$R=x+2k+\NO$ となる。 また，$B$ を $R$ で割ったときの商は $x-\NO k$, 余りは $\NO k^2-\NO$ となる。 \SubSubToi~$B$ が $R$ で割り切れるための必要十分条件は $k=\pm\FRAC{\sqrt{\NO}}{\NO}$ である。 \SubSubToi~$k=\FRAC12$ のとき， $Q$ を $R$ で割った余りは\NO である。 \SubSubToi~$k=\pm\FRAC{\sqrt{\NO[-3]}}{\NO}$ であることは， $A$ が $R$ で割り切れるための \NO[+1] 。 (\NO[-1] に当てはまるものを， 次の \MARU1 〜 \MARU4 のうちから選べ。) \def\LabelSubSubToi{\MARU\theSubSubToi } \SubSubToi[1]~必要十分条件である \SubSubToi~必要条件であるが，十分条件ではない \SubSubToi~十分条件であるが，必要条件ではない \SubSubToi~必要条件でも十分条件でもない \def\LabelSubSubToi{(\theSubSubToi) } \vfill \SubToi~四角形 ABCD は，円 O に内接し， \begin{eqnarray*} {\rm AB}=3, {\rm BC=CD}=\sqrt{\,3}, \cos\Kaku{\rm ABC}=\frac{\sqrt{\,3}}6 \end{eqnarray*} とする。このとき \begin{eqnarray*} {\rm AC=\NO, AD=\NO} \end{eqnarray*} であり，円Oの半径は \FRAC{\NO\sqrt{\NNO}}{11} である。 また，\SANKAKU{\rm ABC} の面積を $S_1$, \SANKAKU{\rm BCD} の面積を $S_2$ とすると \begin{eqnarray*} \frac{S_2}{S_1}=\frac{\NO}{\NO}\text{である。} \end{eqnarray*} \vfill \def\LabelSubToi{(\theSubToi) } \def\LabelSubSubToi{\theSubSubToi.\hskip10pt } \Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20) 数列$\{a_n\}$ は初項 $a_1$, 公差 $d$ の等差数列で $a_{13}=0$ とし，$S_n=\SUM_{k=1}^na_k$ とおく。 また，数列$\{b_n\}$は初項$a$, 公比$r$の等比数列とし， $b_3=a_{10}$ とする。ただし，$a$ と $r$ は正の数とする。 \SubToi~このとき，$a+\NNO[0] d=0$ である。 また，$r=\FRAC{\NO}{\NO}$ である。 \SubToi~$S_n<0$ となるような $n$ のうちで 最小のものは\NNO である。 \SubToi~$S_{10}=25$ のとき，$a=\NO$ であり， $\SUM_{k=1}^nb_k=\FRAC{\NNO}{\NO}$ となる。 \vfill %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \twocolumn[\TitleNoName{H12センター数学I・A 2000/01/15　NO2}] \ResetNo[0] \Toi{\bf (選択問題)}(配点~20) 平面上に二つの合同な三角形 \SANKAKU{\rm ABC} と \SANKAKU{\rm DEF} があり， その頂点はこの順に対応し，次の条件を満たしている。（図を参照） \def\LabelSubToi{(\alph{SubToi}) } \SubToi~どちらの三角形の 3 頂点も，もう一方の三角形の外側にある。 \SubToi~頂点 D は直線 AC に関して頂点 B の反対側にあり， 頂点 E は直線 AB に関して頂点 C の反対側にあり， 頂点 F は直線 BC に関して頂点 A の反対側にある。 \IndentToi% このとき，ある点 G を中心とする回転移動により \SANKAKU{\rm DEF} を \SANKAKU{\rm ABC} に， この順に頂点が対応するようにして， 移すことができることを示そう。 \bigskip \begin{center} %\fbox{\hbox{ \begin{picture}(700,500) \thicklines \path(500,400)(100,300)(500,100)(500,400) \put(500,400){\makebox(0,0)[b]{D}} \put(100,300){\makebox(0,0)[r]{E}} \put(500,100){\makebox(0,0)[t]{F}} \path(600,200)(350,400)(100,100)(600,200) \put(600,200){\makebox(0,0)[l]{C}} \put(350,400){\makebox(0,0)[b]{A}} \put(100,100){\makebox(0,0)[t]{B}} \thinlines \end{picture} %}} \end{center} \bigskip 次の文章中の\NNO[0], \NNO, \NNNO[+1] と \NNNO に当てはまるものを， 記号A〜Gのうちから選べ。 ({\bf ア}と{\bf イ},{\bf ウ}と{\bf エ},{\bf ケ}と{\bf サ}は，それぞれ解答の順序を問わない。) \bigskip ここでは，直線 AD と直線 CF が平行でない場合を考えてみよう。 \def\LabelSubToi{(\theSubToi) } \SubToi[1] 点Gを中心とする回転移動により \SANKAKU{\rm DEF} が \SANKAKU{\rm ABC} に移ったとすると， D が A に移るのだから AG=\NNO[0], 同じく CG=\NNO である。 ゆえに G は \NO でなくてはならない。 (\NO[-1] に当てはまるものを，次の\MARU1〜\MARU4のうちから選べ。) \bigskip \def\LabelSubSubToi{\MARU{\theSubSubToi} } \SubSubToi~直線 AC と直線 DF の交点 \SubSubToi~線分 AC の垂直 2 等分線と線分 DF の垂直 2 等分線の交点 \SubSubToi~直線 AD と直線 CF の交点 \SubSubToi~線分 AD と垂直 2 等分線と線分 CF の垂直 2 等分線の交点 \vfill \SubToi~逆に，Gが\NO[-1] であると， AG=\NNO[0], CG=\NNO で，さらに AC=DF だから， 対応する3辺が等しく， \SANKAKU{\rm DFG}=\SANKAKU{\NNNO[+1]} で， このとき頂点 D は頂点\NO[-3] に， 頂点Gは頂点 \NO に，頂点 F は頂点 \NO にそれぞれ対応している。 したがって，点 G のまわりに角 \Kaku{\rm \NNNO} だけ 回転移動すれば \SANKAKU{\rm DGF} は \SANKAKU{\NNNO[-6]} に 移される。こうして \SANKAKU{\rm DEF} は \SANKAKU{\rm ABC} に 移されることがわかる。 \vfill \newpage \ResetNo[0] \Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20) $B$, $C$ をある範囲内の整数として， 2 次方程式 $X^2+BX+C=0$ について考える。 次のプログラムは，各 $B,\ C$ に対し， この2 次方程式が整数の解をもつときは，その解を表示し， もたないときは，「整数の解なし」と表示するものである。 ただし，INT$(X)$ は $X$ をこえない最大の整数を与える関数とする。 また，$K$, $L$, $M$, $N$ には，$K\leq L$ および $M\leq N$ を 満たす整数を入力するものとする。 \medskip \hskip20pt %\leavevmode \hbox{\vbox{ \hbox{\verb|100 INPUT "K=";K|} \hbox{\verb|110 INPUT "L=";L|} \hbox{\verb|120 INPUT "M=";M|} \hbox{\verb|130 INPUT "N=";N|} \hbox{\verb|140 S=0|} \hbox{\verb|150 FOR B=K TO L|} \hbox{\verb|160 FOR C=M to N|} \hbox{\verb|170 PRINT "B=";B, "C=";C|} \hbox{\verb|180 D=B*B-4*C|} \hbox{\verb|190 IF D|\NO\verb| 0 THEN GOTO |\NO} \hbox{\verb|200 E=(-B+SQR(D))/2|} \hbox{\verb|210 IF E-INT(E)|\NO\verb|0 THEN GOTO|\NO} \hbox{\verb|220 S=S+1|} \hbox{\verb|230 PRINT "解 1=";E, "解 2=";E-SQR(D)|} \hbox{\verb|240 GOTO|\NO} \hbox{\verb|250 PRINT "整数の解なし"|} \hbox{\verb|260 NEXT C|} \hbox{\verb|270 NEXT B|} \hbox{\verb|280 PRINT S|} \hbox{\verb|290 END|} }} \SubToi~上の \NO[0], \NO, \NO, \NO に当てはまる記号 または番号を，次の \MARU0〜\MARU9 のうちから選び， プログラムを完成せよ。 \hskip20pt \hbox{\vbox{ \begin{tabbing} \MARU0 \verb|>|\hskip20pt\=\MARU1 \verb|<|\hskip20pt \=\MARU2 \verb|>=|\hskip20pt\=\MARU3 \verb|<=|\hskip20pt \=\MARU4 \verb|=|\\ \MARU5 \verb|230|\>\MARU6 \verb|240| \>\MARU7 \verb|250|\>\MARU8 \verb|260| \>\MARU9 \verb|270|\\ \end{tabbing} }} \vfill \SubToi~$K,\ L,\ M,\ N$ にそれぞれ 3,\ 6,\ 4,\ 6 を入力すると， \[ \NO\leq B\leq\NO \text{および} \NO\leq C\leq\NO \] を満たす整数 $B,\ C $に対し，2 次方程式 $X^2+BX+C=0$ が 整数解をもつかどうか調べることができる。 このとき，200 行は \NO 回, 220 行は \NO 回実行され， 280 行により画面に表示される $S$ の値は \NO である。 \vfill \end{document}