\documentclass[b4paper,twocolumn,fleqn]{jarticle}
\usepackage{epic,eepic,eepic2,amssymb,amsmath,picins,mathtips,wrapfloat,schlmath}
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%%%%%%%%%% 角藤版は{timesnewp.sty} %%%%%%%%%%%
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\Shiken%% 試験用の余白が少ない設定
\setlength{\columnseprule}{0.4pt}
\setlength{\columnsep}{2zw}
\setlength{\mathindent}{30pt}
\pagestyle{empty}
\def\HIDDEN{0}
\def\LabelNo{\KANA\theLocalNumber\hskip 1pt plus 5pt minus 1pt}
\def\MTab{\hspace{1cm}}
\def\Tab{\hskip30pt}
\def\LabelToi{{\bf 第\theToi 問} }
\def\LabelSubToi{[\,\theSubToi\,] }
\def\LabelSubSubToi{(\theSubSubToi) }
\BoxLineHuto%空欄の枠を太くする。
%\setlength{\fboxrule}{1.0pt}%囲み罫線の太さを変える　標準は{0.4pt}
\def\LP{\left(}
\def\RP{\right)}
\def\Lp{\left[}
\def\Rp{\right]}
\def\HS{\hskip 1cm minus 0.8cm}
\def\lP{\left\{}
\def\rP{\right\}}
\def\Neq{\;{\ooalign{\hfil$\setminus$\hfil\crcr$=$}}\;}%%% \neq の代わり＝＼
%平行は $l\,/\!/ \,m$ でできる
\newcommand{\Arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{\Big)}}{#1}}
%graphicsを読み込むこと　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$と　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%	空欄の高さを変更した
%
\def\BoxHeight{.8}
\twocolumn[\TitleNoName{H14センター数学I・A  2002/01/19　NO.1}]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Toi~{\bf (必答問題)}(配点~40)
%%%%%%%
\SubToi~$a$を定数とし，2次関数
  \[ y = -4x^2+4(a-1)x-a^2 \]
のグラフを $C$ とする。

%%%%%
\SubSubToi~$C$ が点 $(1,\ -4)$ を通るとき，$a=\NO$ である。

%%%%%
\SubSubToi~$C$ の頂点の座標は
\[ \LP \FRAC{a-1}{\NO},\ \NNO\,a+\NO \RP \]
である。\vfill

%%%%%
\SubSubToi~$a>1$ とする。$x$ が $-1\leq x \leq 1$ の範囲にあるとき，この 2 次関数の最大値，最小値を調べる。最大値は
\[ 1<a \leq \NO 　ならば　-2a+\NO \]
\[ a> \NO[-2]　　　ならば　-a^2+4a-\NO[7] \]
である。また，最小値は
\[ -a^2-\NO\,a\]
である。最大値と最小値の差が 12 でになるのは
\[ a=-1+\NO\sqrt{\NO} \]
のときである。\vfill

%%%%%%%
\SubToi~二つの箱 A,\ B がある。

\bigskip
A の箱には，次のように 6 枚のカードが入っている。

\hskip20pt 0 の数字が書かれたカードが 1 枚

\hskip20pt 1 の数字が書かれたカードが 2 枚

\hskip20pt 2 の数字が書かれたカードが 3 枚

B の箱には，次のように 7 枚のカードが入っている。

\hskip20pt 0 の数字が書かれたカードが 4 枚

\hskip20pt 1 の数字が書かれたカードが 1 枚

\hskip20pt 2 の数字が書かれたカードが 2 枚

\bigskip
A の箱から 1 枚，B の箱から 2 枚，あわせて 3 枚のカードを取り出す。

%%%%%
\SubSubToi~3 枚のカードに書かれた数字がすべて 0 である確率は $\FRAC{\NO}{\NNO}$ である。\vfill

%%%%%
\SubSubToi~3 枚のカードに書かれた数字の積が 4 である確率は $\FRAC{\NO}{\NNO}$ である。\vfill

%%%%%
\SubSubToi~3 枚のカードに書かれた数字の積が 0 である確率は $\FRAC{\NNO}{\NNO}$ である。\vfill

%%%%%
\SubSubToi~3 枚のカードに書かれた数字の積の期待値 $\FRAC{\NNO}{\NNO}$　である。\vfill

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\ResetNo[0]

\Toi~{\bf (必答問題)}(配点~40)

%%%%%%%
\SubToi~$a,\ b$ を実数とし，$x$ の整式 $A,\ B$ を
	\[ A = x^2+a\,x+b,\hskip20pt  B = x^2+x+1  \]
   とする。ただし，$A$ と $B$ は等しくないものとする。

%%%%
\SubSubToi~等式
\[ A^2+B^2=2x^4+6x^3+3x^2+cx+d \]
が成り立つとき，$a=\NO,\ b=-\NO,\ c=-\NO.$

$d=\NO$ である。\vfill

%%%%
\SubSubToi~等式
\[ A^2-B^2=(A-B)(A+B) \]
\[=\Bigl\{ (a-1)x+(b-1) \Bigr\} \lP \NO \,x^2+\LP a+\NO \RP x +b+1\rP  \]
を考える。$A-B$ が $x-1$ で割り切れるのは \NO のときであり，
また，$A+B$ が $x-1$  で割り切れるのは \NO のときである。よって
$A-B$ と $A+B$ が同時に $x-1$ で割り切れることはない。

ただし，\NO[-2],\ \NO については，次の $\daen{0}〜\daen{4}$ の中から当てはまるものをそれぞれ一つずつ選べ。
\[
\begin{array}{lll}
\daen{0}\ a+b=0 \hskip25pt & \daen{1}\ a-b=0 \hskip25pt & \daen{2}\ a+b-2=0  \\
\daen{3}\ a+b+4=0 & \daen{4}\ a-b-2=0
\end{array}
\]

したがって，$A^2-B^2$ が $(x-1)^2$ で割り切れるのは，$A+B$ が $(x-1)^2$ で割り切れる場合である。このとき，
	\[ a=-\NO,\ b=\NO,\ A^2-B^2=\NNNO\,x(x-1)^2 \]
となる。
\vfill
%%%%%%%%%%%%%

\SubToi~半径 $R$ の円に内接する四角形 ABCD が
\[ {\rm AB=\sqrt{\,3}-1,\ BC=\sqrt{\,3}+1},\ \cos \Kaku{\rm ABC}=-\FRAC14  \]
を満たしており，$\SANKAKU{\rm ACD}$ の面積は $\SANKAKU{\rm ABC}$ の面積の 3 倍であるとする。

　このとき，
\[ {\rm AC=\NO},\ \ R=\FRAC{\NO \sqrt{\NNO}}{\NO} \]
である。

　また，$\SANKAKU{\rm ACD}$ と $\SANKAKU{\rm ABC}$ の面積についての条件から，
\[\rm AD \times CD=\NO \]
\[\rm AD^2+CD^2=\NNO \]
となる。したがって四角形 ABCD の周の長さは
\[　\NO\sqrt{\NO}+2\sqrt{\,3} \]
である。\vfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\twocolumn[\TitleNoName{H14センター数学I・A  2002/01/19　NO.2}]
\ResetNo[0]
\def\LabelSubToi{(\theSubToi) }
\def\LabelSubSubToi{\theSubSubToi.\hskip10pt }
\Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20)
%%%%%%%%%%%%
\SubToi~初項が 0 でない等比数列 $\{a_n\}$ が $a_1+2a_2=0$ を満たしている。

このとき，公比は $\FRAC{\NNO}{\NO}$	である。$a_1+a_2+a_3=\FRAC94$ ならば，

$a_4+a_5+a_6=\FRAC{\NNO}{\NNO}$ であり，$\FRAC1{\,a_1}+\FRAC1{\,a_2}+\cdots +\FRAC1{\,a_n}=57$

となるのは $n=\NO$ のときである。
\vfill

%%%%%%%%%%%
\SubToi~$b_n=pn+q$ で表される数列 $\{b_n \}$ に対して，初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。
$b_7=1,\ S_{12}=10$ ならば，$p=\FRAC{\NO}{\NO},$

$q=\FRAC{\NNO}{\NO}$ であり，

$S_1+S_2+\cdots +S_{12}=\FRAC{\NNO}{\NO}$ である。

\vfill

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ResetNo[0]
\Toi{\bf (選択問題)}(配点~20)

　三角形 ABC の外心を O ， 内心を I ，また，外接円の半径を $R$ ，内接円の半径を $r$ とする。
O と I が一致しない場合に $R,\ r$ と OI の関係を調べよう。{\bf ア}〜{\bf サ} には A 〜 G の中から C 以外の当てはまる文字を選べ。ただし {\bf エ}と{\bf オ} は解答の順序を問わない。

\bigskip

　AI の延長と外接円の交点を D とし，DO の延長と外接円の交点を E とする。また直線 OI と外接円の交点を F,\ G とし F,\ O,\ I,\ G がこの順に並ぶものとする。I から AC へ垂線をひき，交点を H とする。

\PIC{-500}{500}{-270}{270}{
		\put(0,0){\circle{500}}
		\put(60,40){\circle{223}}
		\put(  0,0){\circle*{10}}
		\put( 60,40){\circle*{10}}
		\path(-238,-73)(236,-73)(100,228)(-238,-73)
		\put( 130,240){\makebox(0,0)[rb]{A}}% x-=10 , y+=10
		\put(-255,-70){\makebox(0,0)[r]{B}}% x-=10
		\put( 255,-70){\makebox(0,0)[l]{C}}% x+=10
		\put( 0,10){\makebox(0,0)[lb]{O}}% x+=10 , y+=10
		\put( 60,50){\makebox(0,0)[lb]{I}}% x+=10 , y+=10
	}


$\SANKAKU{\rm AHI}$ と $\SANKAKU{\rm EBD}$ は，
\[ \rm \Kaku{\rm HAI} = \Kaku{\NNO}I = \Kaku{\rm BED} \]
\[ \Kaku{\rm AHI}=\Kaku{\rm EBD}=90\DEG \]
であるから相似で，ED : \NO I = \NNO : HI が成り立ち，
\[ \NO[-3] {\rm I} \cdot \NNO = 2rR  \hfil \cdots\cdots\cdots (1) \]
次に，$\SANKAKU{\rm DBI}$ において
\[ \Kaku{\rm DIB} = \Kaku{\rm I \NNO}+\Kaku{\rm IBA} \]
\[ \Kaku{\rm DBI} = \Kaku{\rm DBC}+\Kaku{\rm IBC} \]
\[ \Kaku{\rm IBA} = \Kaku{\rm IBC} \]
\[ \Kaku{\rm I\NNO[-2]} = \Kaku{\rm DAC} = \Kaku{\rm DBC} \]
であるから，$\Kaku{\rm DIB} = \Kaku{\rm \NNO I}$ で，$\SANKAKU{\rm DBI}$ は二等辺三角形となり，
\[ \rm \NNO[3]=ID \hfil \cdots\cdots\cdots (2) \]
$\SANKAKU{\rm IFD}$ と $\SANKAKU{\rm IAG}$ において
\[ \Kaku{\rm IFD} = \Kaku{\rm GFD} = \Kaku{\rm IAG} \]
\[ \Kaku{\rm FID} = \Kaku{\rm AIG} \]
したがって，$\SANKAKU{\rm IFD}$ と $\SANKAKU{\rm IAG}$ は相似であり，
\[ \rm AI \cdot \NO[9] I = \NO I \cdot GI  \]
\[ \hskip70pt = \rm \LP \NO[-1] O+OI \RP \LP GO-OI \RP \]
\[ \hskip70pt = R^2-\rm OI^2  \hfil \cdots\cdots\cdots (3) \]

\bigskip

$(1),\ (2),\ (3)$ から
\[ {\rm OI^2} = R^2- \NO  \]
が成り立つ。
ただし，\NO[-1] には，次の $\daen{0}〜\daen{5}$ の中から正しいものを一つ選べ。

\[
\begin{array}{lll}
\daen{0}\ \ r  \hskip50pt & \daen{1}\ \ R \hskip50pt & \daen{2}\ \ r^2  \\
\daen{3}\ \ rR & \daen{4}\ \ 2rR & \daen{5}\ \ 4rR
\end{array}
\]
\vfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\twocolumn[\TitleNoName{H14センター数学I・A  2002/01/19　NO.3}]
\ResetNo[0]
\Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20)

	次のプログラムは，$x=0,\ 1,\ \cdots ,\ 9$ に対する $a\,x^2+b\,x+c$ の値の最小値と最大値を求めるものである。$\NNNO$ ,\ $\NNNO[3]$ に適当な行番号を入れてプログラムを完成せよ。

	\medskip
	\hskip20pt
	%\leavevmode
	\hbox{\vbox{
		\hbox{\verb|100 INPUT "a=";A|}
		\hbox{\verb|110 INPUT "b=";B|}
		\hbox{\verb|120 INPUT "c=";C|}
		\hbox{\verb|130 U=C|}
		\hbox{\verb|140 V=C|}
		\hbox{\verb|150 FOR X=0 TO 9|}
		\hbox{\verb|160     Y=A*X*X+B*X+C|}
		\hbox{\verb|170     IF Y>=U THEN GOTO |\NNNO[0]}
		\hbox{\verb|180     U=Y|}
		\hbox{\verb|190     IF Y<=V THEN GOTO |\NNNO}
		\hbox{\verb|200     V=Y|}
		\hbox{\verb|210 NEXT X|}
		\hbox{\verb|220 PRINT "最小値=";U|}
		\hbox{\verb|230 PRINT "最大値=";V|}
		\hbox{\verb|240 END|}
	}}

%%%%%%
\SubToi~上のプログラムを実行して， {\tt a=?} に対して $-1$ ,{\tt b=?} に対して $7$ , {\tt c=?} に対して $28$ を入力すると，{\tt 180} 行は \NO 回，{\tt 200} 行は \NO 回実行され
	
　{\tt 最小値}=\NNO
	
　{\tt 最大値}=\NNO
	
が表示される。また，{\tt 170} 行の不等号 {\tt >=} を {\tt >} に，{\tt 190} 行の不等号 {\tt <=} を {\tt <} に変更したのち，同じデータを入力すると，{\tt 180} 行は \NO 回，{\tt 200} 行は \NO 回実行され
	
　{\tt 最小値}=\NNO
	
　{\tt 最大値}=\NNO
	
が表示される。

\vfill
%%%%%%%%%%%%
\SubToi~冒頭のプログラムの {\tt 170} 行と {\tt 180} 行は，{\tt 180} 行 を削除して {\tt 170} 行を

　{\tt 170} \NO

と書き直しても同じ結果を得る。同様に {\tt 190} 行と {\tt 200} 行も，{\tt 200} 行 を削除して，{\tt 190} 行を

　{\tt 190} \NO

と書き直すことができる。ただし，\NO[-2] と \NO については，次の $\daen{0} 〜 \daen{5}$ の中から最もふさわしいものを一つずつ選べ。

\[
\begin{array}{ll}
\daen{0}\ \ {\tt IF\  Y>U\  THEN\  U=Y}  \hskip50pt & \daen{1}\ \ {\tt IF\  Y<U\  THEN\  U=Y}  \\
\daen{2}\ \ {\tt IF\  Y=U\  THEN\  U=Y}  \hskip50pt & \daen{3}\ \ {\tt IF\  Y>V\  THEN\  V=Y}  \\
\daen{4}\ \ {\tt IF\  Y<V\  THEN\  V=Y}  \hskip50pt & \daen{5}\ \ {\tt IF\  Y=V\  THEN\  V=Y}  \\
\end{array}
\]
\vfill

\end{document}