\documentclass[b4paper,twocolumn,fleqn]{jarticle} \usepackage{epic,eepic,eepic2,amssymb,amsmath,picins,mathtips,wrapfloat,schlmath,alltt} %%%%%%%%%% 角藤版は{timesnewp.sty} %%%%%%%%%%% %\usepackage{timesnewp} %\usepackage{mathmnsx} %\usepackage{mathmnsxx} \Shiken%% 試験用の余白が少ない設定 \setlength{\columnseprule}{0.4pt} \setlength{\columnsep}{2zw} \setlength{\mathindent}{50pt} \pagestyle{empty} \def\HIDDEN{0} \def\LabelNo{\KANA\theLocalNumber\hskip 1pt plus 5pt minus 1pt} \def\MTab{\hspace{1cm}} \def\Tab{\hskip30pt} \def\LabelToi{{\bf 第\theToi 問} } \def\LabelSubToi{[\theSubToi] } \def\LabelSubSubToi{(\theSubSubToi) } \BoxLineHuto%空欄の枠を太くする。 %\setlength{\fboxrule}{1.0pt}%囲み罫線の太さを変える　標準は{0.4pt} \def\LP{\left(} \def\RP{\right)} \def\Lp{\left[} \def\Rp{\right]} \def\HS{\hskip 1cm minus 0.8cm} \def\lP{\left\{} \def\rP{\right\}} \def\Neq{\;{\ooalign{\hfil$\setminus$\hfil\crcr$=$}}\;}%%% \neq の代わり＝＼ %平行は $l\,/\!/ \,m$ でできる \newcommand{\Arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{\Big)}}{#1}} %graphicsを読み込むこと　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$と　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$ \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % 空欄の高さを変更した % \def\BoxHeight{.8} \twocolumn[\TitleNoName{H14センター数学II・B 02/01/19　NO.1}] \Toi~{\bf (必答問題)}(配点~30) %%%%%%%%%% \SubToi~$a$ を正の定数とし，角 $\theta$ の関数 \[ f(\theta)=\sin (a\,\theta) + \sqrt{\,3} \cos (a\,\theta) \] を考える。 %%%%%%% \SubSubToi~$f(\theta)=\NO \sin \LP a\,\theta +\NNO \DEG \RP $ である。 \vfill %%%%%%% \SubSubToi~$f(\theta)=0$ を満たす正の角 $\theta$ のうち 最小のものは \[ \FRAC{\NNNO \DEG}a \] であり，小さいほうから数えて 4 番目と 5 番目のものは，それぞれ \[ \FRAC{\NNNO \DEG}a ,\ \FRAC{\NNNO \DEG}a \] である。 \vfill %%%%%%% \SubSubToi~$0 \DEG \leq \theta \leq 180\DEG$ の範囲で，$f(\theta)=0$ を満たす $\theta$ がちょうど 4 個存在するような $a$ の範囲は \[\ \FRAC{\NNO}{\NO} \leq a < \FRAC{\NNO}{\NO} \] である。 \vfill %%%%%%%%%%% \SubToi~対数関数 \[ f(x)=\log_2\,x \] \[ g(x)=\log_2 (x+a) \] について考える。関数 $y=g(x)$ のグラフは，関数 $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に \NNO だけ平行移動したものである。ただし， $a>0$ とする。 \bigskip %%%%%%% \SubSubToi~$F(x)=g(x)-f(x)$ とする。 $F(2)=1$ となるのは，$a=\NO$ のときである。 $F(1)=2F(3)$ となるのは，$a=\NO$ のときである。 \vfill %%%%%%% \SubSubToi~次に \[ h(x)=\log_4\,(4x+b) \ \ (b>0) \] とする。$g(1)=h(1),\ g\LP \FRAC12 \RP = h\LP \FRAC12 \RP $ となるのは \[ a=\FRAC{\NO}{\NO},\ b=\FRAC{\NNO}{\NNO} \] のときである。 \vfill \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ResetNo[0] \def\LabelSubToi{(\theSubToi) } %%%%%%%%%%%%\%%%%%%%%%%%%%%%%% \Toi~{\bf (必答問題)}(配点~30) 　座標平面において，点 $(a,\ 1)$ を中心とし，$x$ 軸に接する円を $C_1$ とする。また，放物線 $y=\FRAC12\,x^2$ を $C_2$ とし，$C_2$ 上に点P$ \LP b,\ \FRAC12\,b^2 \RP $ をとる。ただし，$a>0,\ b>0$ とする。 %%%%%%%% \SubToi~$C_1$ の方程式は \[ \LP x-\NO \RP^2+ \LP y-\NO \RP^2 = \NO \] である。 \vfill %%%%%%%% \SubToi~P における $C_2$ の接線 $\ell$ の傾きは \NO である。したがって，$\ell$ の方程式は \[ y = \NO[-1] \,x-\FRAC{\NO}{\NO} \,b^{\fbox{\bf \No}} \] である。また，P を通り，$\ell$ に直交する直線 $m$ の方程式は \[ y = \FRAC{\NNO}{\NO}\,x + \FRAC{\NO}{\NO} \,b^{\fbox{\bf \No}} + \NO \] である。 \vfill %%%%%%%% \SubToi~$C_1$ の中心が $m$ 上にあるとする。このとき \[ a = \FRAC{\NO}{\NO} \,b^{\fbox{\bf \No}} \] が成り立つ。 　さらに，$C_1$ が P を通るとき \[ b = \sqrt{\NO} ,\hskip10pt a=\FRAC{\NO\sqrt{\NO}}2 \] である。 　このとき，$C_1$ は P において $\ell$ に接し，$\ell$ と $x$ 軸のなす角は $\NNO \DEG$ である。また，2 直線 $x=0,\ x=a$ の間にあって，$C_1$ と $C_2$ と $x$ 軸の三つで囲まれた部分の面積は \[ \FRAC{\NO\sqrt{\NO}}{\NO} - \FRAC{\pi}{\NO} \] である。 \vfill %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \twocolumn[\TitleNoName{H14センター数学II・B 02/01/19　NO.2}] \ResetNo[0] \Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20) 　平行四辺形 ABCD において，辺 AB を $a : 1$ に内分する点を P ，辺 BC を $b : 1$ に内分する点を Q とする。辺 CD 上の点 R および辺 DA 上の点 S をそれぞれ ${\rm PR \parallel BC,\ SQ \parallel AB }$ となるようにとり， $\VEC x = \VEC{\rm BP},\ \VEC y = \VEC{\rm BQ}$ とおく。 \PIC{0}{800}{-50}{270}{ \path(300,0)(800,0)(600,260)(100,260)(300,0) \path(222,100)(722,100)(650,0)(450,260)(222,100) \path(300,0)(722,100)(450,260)(300,0) \put( 300, 0){\arrow(-78,100)} \put( 300, 0){\arrow(350,0)} \put(100,265){\makebox(0,0)[b]{A}} % <-1mm, 1mm> \put(300, -5){\makebox(0,0)[t]{B}} % <-1mm, 1mm> \put(800, -5){\makebox(0,0)[t]{C}} % < 0mm,1.5mm> \put(600,265){\makebox(0,0)[b]{D}} % <-1mm, 1mm> \put(215,100){\makebox(0,0)[r]{P}} % <-1mm, 1mm> \put(650, -5){\makebox(0,0)[t]{Q}} % <-1mm, 1mm> \put(730,100){\makebox(0,0)[l]{R}} % <-1mm, 1mm> \put(450,265){\makebox(0,0)[b]{S}} % <-1mm, 1mm> \put(250, 50){\makebox(0,0)[rt]{$\VEC x$}} % <0mm,1mm> \put(475, -10){\makebox(0,0)[t]{$\VEC y$}} % <0mm,1mm> } \SubToi~五角形 PBQRS の辺 RQ,\ SP および対角線 SB,\ RB が表すベクトルは $\VEC x,\ \VEC y$ を用いて \[ \VEC{\rm PQ}=-\VEC x-\FRAC{\NO}{\NO}\,\VEC y,\hskip10pt \VEC{\rm SP}=\NNO\,\VEC x-\VEC y \] \[ \VEC{\rm SB}=- \LP \NO +\NO \RP \VEC x-\VEC y \] \[ \VEC{\rm RB}=-\VEC x- \LP \NO +\FRAC{\NO}{\NO} \RP \VEC y \] となる。 \vfill %%%%%%%%%% \SubToi~$\InPro{\rm SP}{x}=\InPro{x}{y}=\InPro{y}{\rm RQ}$ が成り立つとする。このとき \[ \InPro{x}{y}=-\FRAC{\NO}{\NO}\,|\VEC x|^2=-\FRAC1{\NNO}\,|\VEC y|^2 \] である。 \vfill %%%%%%%%%% \SubToi~${\rm RQ \parallel SB および SP \parallel RB }$ が成り立つとする。このとき \[ a=\FRAC{\NNO+\sqrt{\NO}}{\NO}, \hskip5pt b=\FRAC{\NO+\sqrt{\NO}}{\NO} \] である。 \vfill %%%%%%%%%% \SubToi~$(2)$ と $(3)$ の条件が同時に成り立つとき \[ \FRAC{|\VEC y|}{|\VEC x|}=\NO \] であるから \[ \cos \Kaku{\rm PBQ}=\FRAC{\NO-\sqrt{\NO}}{\NO} \] を得る。 \vfill \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ResetNo[0] \Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20) %%%%%%%%%%% \SubToi~相異なる二つの複素数 $a,\ b$ に対して \[ \arg \FRAC{z-a}{z-b}=\pm 90\DEG \] を満たす $z$ は，複素数平面上の，ある円の周上にある。この円を $a,\ b$ を用いて \[ \left| z-\FRAC{\NO+\NO}{\NO} \right|=\FRAC{\left|\NO-\NO \right|}{\NO} \] で表される。 　ただし，$\arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表す。 \vfill %%%%%%%%%%% \SubToi~以下，複素数の偏角は $0\DEG$ 以上 $360\DEG$ 未満とする。 2 次方程式 $x^2-2x+4=0$ の二つの解を $\Gr1,\ \Gr2$ とする。ただし，$\Gr1$ の虚部は正とする。このとき \[　\arg \Gr1=\NNO \DEG,\ \arg \Gr2=\NNNO \DEG \] \[ \Gr1^2+\Gr2^2=\NNO,\ \Gr1^2-\Gr2^2=\NO\sqrt{\NO}\,i \] である。したがって \[ \arg \FRAC{z-\Gr1^2}{z-\Gr2^2}=90\DEG \] を満たす $z$ が描く図形は \[ \left| z+\NO \right|=\NO\sqrt{\NO} \] で表される円のうち \[ \NNNO \DEG <\arg z < \NNNO \DEG \] を満たす部分である。 \vfill %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \twocolumn[\TitleNoName{H14センター数学II・B 02/01/19　NO.3}] \ResetNo[0] \Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20) %文章に枠あけをして図表を入れる。(LATEXのマクロp48) %wrapfloat.styを用いる。\begin{wraptable}[行数]{l左(r右)}{幅}　図　\end{wraptable} \begin{wraptable}[9]{r}{4.3cm} \hspace{-1cm}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|r||}{ $Y$ } & \multicolumn{5}{c|}{数　　学} \\ \cline{3-7} \multicolumn{2}{|l||}{ $X$ } & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline\hline & 5 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ \cline{2-7} 英 & 4 & 1 & 0 & 7 & 5 & 1 \\ \cline{2-7} & 3 & 2 & 1 & 0 & 9 & 3 \\ \cline{2-7} 語 & 2 & 1 & $b$ & 6 & 0 & $a$ \\ \cline{2-7} & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 3 \\ \hline \end{tabular} \end{wraptable} 　右の表はあるクラスの英語と数学の成績の分布である。生徒数は 50 人で，成績は 1 から 5 までの 5 段階評価である。たとえば，この表によると英語の成績が 4，数学の成績が 2 の生徒の数は 5 人である。 　このクラス全員の名札を 50 枚よくまぜて，1 枚を取り出し，その名札の生徒の英語の成績を $X$ ，数学の成績を $Y$ として確率変数 $X,\ Y$ を定める。 　ただし，同姓同名の生徒はいないものとする。 %%%%%%%%% \SubToi~$X=4$ となる確率は $\FRAC{\NO}{\NNO}$ である。 \hskip8pt $X=4$ かつ $Y=3$ となる確率は $\FRAC{\NO}{\NNO}$である。 \hskip8pt $X\geq3$ となる確率は $\FRAC{\NO}{\NNO}$である。 \hskip8pt $X\geq3$ となる条件のもとで $Y=3$ となる条件つき確率は $\FRAC{\NO}{\NNO}$ である。 \vfill %%%%%%%%%% \SubToi~$a+b=\NO$ であり，$X=2$ となる確率は $\FRAC{\NO}{\NO}$で $X$ の平均（期待値）は $\FRAC{\NNO}{\NNO}$ である。 \vfill %%%%%%%%%% \SubToi~$Y$ の平均が $\FRAC{133}{50}$ であれば \[ a=\NO,\ b=\NO \] である。 \vfill %%%%%%%%%% \SubToi~$X=2$ という事象と $Y=4$ という事象が独立であれば \[ a=\NO,\ b=\NO \] であり，$Y$ の平均は $\FRAC{\NNO}{\NO}$ である。 \vfill \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ResetNo[0] \Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20) 　$p$ を 3 以上の自然数とする。1 以上 $p-1$ 以下の各自然数 $a$ に対して，数の列 \[ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_{p-1} \] を次のように決める。 　●　$a_1$ は $a$ とする。 　●　$a_{i+1}$ は $a_i \times a$ を $p$ で割った余りとする。ただし，$1 \leq i \leq p-2$ である。 また，各 $a$ に対して $f(a)$ を次のように決める。 　●　$a_i=1$ となる $i$ が $1 \leq i \leq p-1$ の範囲にあるときは，そのような最小の $i$ を $f(a)$ とする。 　●　$a_i=1$ となる $i$ が $1 \leq i \leq p-1$ の範囲に無いときには $f(a)=0$ とする。 \bigskip 　$p$ の値を入力して $f(1),\ f(2),\ \cdots ,\ f(p-1)$ を出力させるプログラムを考えたい。 \fbox{方針}　数の列 $a_1,\ a_2,\ \cdots $ を上の規則によって決めていく過程で \hskip30pt \NO になればその $i$ を出力して {\tt FOR} ループを抜けだす。 \hskip30pt 1 から $p-1$ のどの $i$ に対しても \NO ならば $0$ を出力する。 この方針に従って，次のプログラムを書いた。 \begin{quote} \begin{alltt} 100 INPUT "P=";P 110 FOR A = 1 TO P-1 120 \NO 130 FOR I = 1 TO P-1 140 IF \NO THEN PRINT "f(";A;")=";I:GOTO 180 150 B = A*B-P*INT(A*B/P) 160 NEXT I 170 PRINT "f(";A;")= 0" 180 NEXT A 190 END \end{alltt} \end{quote} 　注意 : {\tt INT(X)} は，{\tt X} を越えない最大の整数を表す関数である。 %%%%%% \SubToi~上の \NO[0] から \NO[3] に適するものを，次の $\MARU1〜\MARU7$ のうちから一つずつ選べ。 \[ \begin{array}{llll} \MARU{1}\ a_i \Neq 1 \hskip20pt & \MARU{2}\ a_i = 1 \hskip20pt & \MARU{3}\ {\tt B = 0} \hskip20pt & \MARU{4}\ {\tt B = 1} \\ \MARU{5}\ {\tt B <> 0} & \MARU{6}\ {\tt B = A} & \MARU{7}\ {\tt A = B} & \\ \end{array} \] \SubToi~このプログラムを実行する。表示 　{\tt P=?} に対して 7 を入力したとき，はじめの 4 行は 　{\tt f( 1 ) = \NO} 　{\tt f( 2 ) = \NO} 　{\tt f( 3 ) = \NO} 　{\tt f( 4 ) = \NO} と出力される。　\vfill \SubToi~上のプログラムで {\tt 140} 行と {\tt 150} 行を入れかえたプログラムを実行させ 　{\tt P=?} に対して 9 を入力すると，はじめの 4 行は 　{\tt f( 1 ) = \NO} 　{\tt f( 2 ) = \NO} 　{\tt f( 3 ) = \NO} 　{\tt f( 4 ) = \NO} となり，意図した結果と異なるものが出力される。　\vfill \end{document}