\documentclass[b4paper,twocolumn,fleqn]{jarticle} \usepackage{epic,eepic,eepic2,amssymb,amsmath,picins,mathtips,wrapfloat,schlmath} %\usepackage{txfonts} %%%%%%%%%% 角藤版は{timesnewp.sty} %%%%%%%%%%% %\usepackage{timesnewp} %\usepackage{mathmnsx} %\usepackage{mathmnsxx} \Shiken%% 試験用の余白が少ない設定 \setlength{\columnseprule}{0.4pt} \setlength{\columnsep}{1zw} \setlength{\mathindent}{40pt} \pagestyle{empty} \def\HIDDEN{0} \def\LabelNo{\KANA\theLocalNumber\hskip 1pt plus 5pt minus 1pt} \def\MTab{\hspace{1cm}} \def\Tab{\hskip30pt} \def\LabelToi{{\bf 第\theToi 問} } \def\LabelSubToi{[\,\theSubToi\,] } \def\LabelSubSubToi{(\theSubSubToi) } \BoxLineHuto%空欄の枠を太くする。 %\setlength{\fboxrule}{1.0pt}%囲み罫線の太さを変える　標準は{0.4pt} \def\LP{\left(} \def\RP{\right)} \def\Lp{\left[} \def\Rp{\right]} \def\HS{\hskip 1cm minus 0.8cm} \def\lP{\left\{} \def\rP{\right\}} \def\Neq{\;{\ooalign{\hfil$\setminus$\hfil\crcr$=$}}\;}%%% \neq の代わり＝＼ %平行は $l\,/\!/ \,m$ でできる \newcommand{\Arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{\Big)}}{#1}} %graphicsを読み込むこと　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$と　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$ \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % 空欄の高さを変更した % \def\BoxHeight{.8} \twocolumn[\TitleNoName{H15センター数学I・A 2003/01/18　NO.1}] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Toi {\bf (必答問題)}(配点~40) %%%%%%% \SubToi 2 次関数 \[ y = -2x^2+ax+b \] のグラフを $C$ とする。$C$ は頂点の座標が \[ \LP \FRAC{a}{\NO},\ \FRAC{a^2}{\NO}+b \RP \] の放物線である。$C$ が点 $(3,\ -8)$ を通るとき， \[ b=\NNO\,a+10 \] が成り立つ。このときグラフ $C$ を考える。 %%%%% \SubSubToi $C$ が $x$ 軸と接するとき，$a=\NO$ または $a=\NNO$ である。 $\ResetNo[-2] a=\NNO$ のとき放物線は，$\ResetNo[4] a=\NO$ のときの放物線を $x$ 軸方向に $\ResetNo[7] \NO$ だけ平行移動したものである。\vfill %%%%% \SubSubToi $C$ の頂点の $y$ 座標の値が最小になるのは，$a=\NNO$ のときで，このときの最小値は $\NNO$ である。\vfill %%%%%%% \SubToi \hspace{2cm}\PIC{0}{400}{0}{320}{ %\thicklines \path(0,200)(100,300)(300,300)(200,200)(0,200)(0,0)(200,0)(200,200) \path(200,0)(300,100)(300,300) \dashpath(0,0)(100,100) \dashpath(100,100)(300,100) \dashpath(100,100)(100,300) \put(-10,190){\makebox(0,0)[rt]{A}} % <-1mm, 1mm> \put(190,190){\makebox(0,0)[rt]{B}} % <-1mm, 1mm> \put(300,300){\makebox(0,0)[lb]{C}} % < 1mm, 1mm> \put(100,300){\makebox(0,0)[rb]{D}} % <-1mm, 1mm> \put( 0, 0){\makebox(0,0)[rt]{E}} % <-1mm,-1mm> \put(200, 0){\makebox(0,0)[lt]{F}} % < 1mm,-1mm> \put(300,100){\makebox(0,0)[lb]{G}} % < 1mm, 0mm> \put(100,100){\makebox(0,0)[rb]{H}} % <-1mm, 1mm> } \bigskip 1 辺の長さが 1 の立方体の 8 個の頂点 A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F,\ G,\ H が図のような位置関係にあるとする。この 8 個の頂点から相異なる 3 点を選び，それらを頂点とする三角形をつくる。 %%%%% \SubSubToi 三角形は全部で $\NNO$ 個できる。また，互いに合同でない三角形は全部で $\NO$ 種類ある。 \vfill %%%%% \SubSubToi $\SANKAKU{\rm ABC}$ と合同になる確率は $\FRAC{\NO}{\NO}$ であり，また，正三角形になる確率は $\FRAC{\NO}{\NO}$ である。 \vfill %%%%% \SubSubToi 三角形の面積の期待値は $\FRAC{\NO+\NO\sqrt{\,2}+\sqrt{\,3}}{\NNO}$ である。 \vfill \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ResetNo[0] \Toi {\bf (必答問題)}(配点~40) %%%%%%% \SubToi \SubSubToi $p,\ q,\ r$ を実数とし，$x$ についての整式 $A,\ B$ を \[ A = x^3+p\,x^2+q\,x+r \] \[ B = x^2-3x+2 \] とする。 \bigskip %%%% $({\rm a})\ $ $A$ を $B$ で割ったときの商が $x-1$ であった。このとき， \hskip15pt$p=\NNO$ である。\vfill %%%% $({\rm b})\ $ $A$ を $B$ で割ったときの余りが $x$ で割り切れた。このとき， \[ r=\NO\,p+\NO \] \hskip15ptである。\vfill $({\rm c})\ $ $A$ を $B$ で割ったとき，その商と余りが等しくなった。このとき， \[ q+r=\NO \] \hskip15ptである。\vfill \SubSubToi $a,\ b$ が実数として，次の $\NO 〜 \ResetNo[8]\NO$ に，下の $\daen{0} 〜 \daen{\rm G}$ のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。\ResetNo[-4] \[ \LP |a+b|+|a-b| \RP ^2=2\LP a^2+b^2+\NO \RP \] であるから，$\LP |a+b|+|a-b| \RP ^2=4a^2$ が成り立つための必要十分条件は \NO である。\ResetNo[-1] \NO でないときは \[ \LP |a+b|+|a-b| \RP ^2=\NO \] となる。 　また，$\FRAC12 \LP |a+b|+|a-b| \RP=b$ が成り立つための必要十分条件は \NO である。 \[ \begin{array}{llll} \daen{0}\ a^2 \hskip18pt & \daen{1}\ b^2 \hskip18pt & \daen{2}\ 4a^2 \hskip18pt & \daen{3}\ 4b^2 \\ \daen{4}\ ab \hskip18pt & \daen{5}\ |ab| \hskip18pt & \daen{6}\ 2ab \hskip18pt & \daen{7}\ 2|ab| \\ \daen{8}\ a^2-b^2 \hskip18pt & \daen{9}\ b^2-a^2 \hskip18pt & \daen{\rm A}\ |a^2-b^2| \hskip18pt & \daen{\rm B}\ a^2 \leq b^2 \\ \daen{\rm C}\ a^2 \geq b^2 \hskip18pt & \daen{\rm D}\ a\leq |b| \hskip18pt & \daen{\rm E}\ |a| \leq b \hskip18pt & \daen{\rm F}\ a \geq |b| \\ \daen{\rm G}\ |a| \geq b & & & \end{array} \] \vfill %%%%%%%%%%%%% \SubToi $\SANKAKU{\rm ABC}$ において，${\rm AB=5,\ BC=2\sqrt{\,3},\ CA=4+\sqrt{\,3}}$ とする。このとき， \[ \cos A=\FRAC{\NO}{\NO} \] である。$\SANKAKU{\rm ABC}$ の面積は \[ \FRAC{\NNO +\NO\sqrt{\NO}}2 \] である。 \bigskip 　B を通り CA に平行な直線と $\SANKAKU{\rm ABC}$ の外接円との交点のうち，B と異なる方を D とするとき，BD$=\NO-\sqrt{\NO}$　であり，台形 ADBC の面積は \NNO である。　\vfill %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \twocolumn[\TitleNoName{H15センター数学I・A 2003/01/18　NO.2}] \ResetNo[0] \def\LabelSubToi{(\theSubToi) } \def\LabelSubSubToi{\theSubSubToi.\hskip10pt } \Toi {\bf (選択問題)}(配点~20) %%%%%%%%%%%% \SubToi 等比数列 $18,\ -6\sqrt{\,3},\ 6,\ \cdots\cdots$ の第 6 項は $\FRAC{\NNO\sqrt{\NO}}{\NO}$ であり，初項から第 15 項までの奇数番目の項の和は $\FRAC{\NNNNO}{\NNNO}$ である。 \bigskip %%%%%%%%%%% \SubToi 数列 \[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 6,\ \cdots\cdots \] の第 $n$ 項を $a_n$ とする。この数列を \[ 1 \ |\ 2,\ 2\ |\ 3,\ 3,\ 3\ |\ 4,\ 4,\ 4,\ 4\ |\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5\ |\ 6,\ \cdots\cdots \] のように $1 個,\ 2 個,\ 3 個,\ 4 個,\ \cdots\cdots $ と区画に分ける。 \bigskip 　第 1 区画から第 20 区画までの区画に含まれる項の個数は $\NNNO$ であり，$a_{215}=\NNO$ となる。また，第 1 区画から第 20 区画までの区画に含まれる項の総和は $\NNNNO$ であり， \[ a_1+a_2+a_3+\cdots\cdots+a_n \geq 3000 \] となる最小の自然数 $n$ は $\NNNO$ である。 \vfill \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ResetNo[0] \Toi{\bf (選択問題)}(配点~20) 　AB$=$AC である二等辺三角形 ABC の内接円を I とし，内接円 I と辺 BC の接点を D とする。辺 BA の延長と点 E で，辺 BC の延長と点 F で接し，辺 AC と接する $\Kaku{\rm B}$ 内の円の中心 $(傍心)$ を G とする。 　以下の文章中の $\NNO,\ \NNO,\ \NNO$ については，当てはまる文字を A 〜 G のうちから選べ。ただし {\bf オ}と{\bf カ} は解答の順序を問わない。 \bigskip \PIC{-100}{600}{-100}{700}{ \put(300,200){\circle{400}} \put(300,200){\circle*{5}} \put(113,273){\circle*{5}} \put(0,0){\circle*{5}} \put(300,0){\circle*{5}} \put(166,0){\circle*{5}} \put(83,200){\circle*{5}} \path(0,0)(600,0) \path(0,0)(300,725) \path(83,200)(166,0) \put( 78,200){\makebox(0,0)[rb]{A}} \put( 0,-10){\makebox(0,0)[t]{B}} \put( 166,-10){\makebox(0,0)[t]{C}} \put( 105,273){\makebox(0,0)[rb]{E}} \put( 300,-10){\makebox(0,0)[t]{F}} \put( 310,190){\makebox(0,0)[lt]{G}} } \ResetNo[0] \SubToi AD$=$GF が成り立つことを示そう。 \[{\rm 2\Kaku{}EAG =\Kaku{}E\NNO =\Kaku{}ABC+\Kaku{}B\NNO=2\Kaku{}ABC }\] であるから，${\rm \Kaku{}EAG=\Kaku{}ABC}$ となる。したがって，直線 \NNO と直線 BF は平行である。 さらに，A,\ I,\ D は一直線上にあって， \[{\rm \Kaku{}ADC =\Kaku{}GFD=\NNO \DEG }\] であるから，四角形 ADFG は \NO となる。よって，AD$=$GF である。 ただし，\NO[-1] には，次の $\daen{0}〜\daen{3}$ のうちから最もふさわしいものを選べ。 \[ \begin{array}{lllll} \daen{0}\ 正方形 \hskip10pt & \daen{1}\ 台　形 \hskip10pt & \daen{2}\ 長方形 & \hskip10pt & \daen{3}\ ひし形 \end{array} \] \SubToi ${\rm AB=5,\ BD=2}$ のとき，IG の長さを求めよう。 まず，AD$=\sqrt{\NNO}$ であり， \[ {\rm AI} =\FRAC{\NO\ResetNo[-3]\sqrt{\NNO}}{\ResetNo[12]\NO} \] となる。また，${\rm \Kaku{}AGI=\Kaku{}CBI=\Kaku{}ABI}$ であるから，AG$=\NO$ となり， \[ {\rm IG} =\FRAC{\NO\sqrt{\NNO}}{\NO} \] である。 \vfill %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \twocolumn[\TitleNoName{H15センター数学I・A 2003/01/18　NO.3}] \ResetNo[0] \Toi {\bf (選択問題)}(配点~20) 　下のプログラムは，自然数 $N$ を入力して，\NO を小さい順に ${\tt a(1)=\ ,\ a(2)=\ ,\ \cdots}$ と表示し，さらにそれらの和を ${\tt S=\ }$ と表示するものである。ただし，このプログラムにおいて，${\tt INT(A)}$ は ${\tt A}$ を越えない最大の整数を表す。 \ResetNo[0] 　\NO に当てはまるものを，次の $\MARU0 〜 \MARU3$ のうちから一つ選べ。 $\MARU{0}\ \ N$ 以下の正の奇数で 3 の倍数であるもの $\MARU{1}\ \ N$ 以下の正の奇数で 3 の倍数でないもの $\MARU{2}\ \ N$ 以下の正の偶数で 3 の倍数であるもの $\MARU{3}\ \ N$ 以下の正の偶数で 3 の倍数でないもの \medskip \hskip50pt %\leavevmode \hbox{\vbox{ \hbox{\verb|100 S=0|} \hbox{\verb|110 T=0|} \hbox{\verb|120 INPUT "N=";N|} \hbox{\verb|130 FOR K=1 TO N|} \hbox{\verb|140 IF INT(K/2)=K/2 THEN GOTO 190|} \hbox{\verb|150 IF INT(K/3)=K/3 THEN GOTO 190|} \hbox{\verb|160 T=T+1|} \hbox{\verb|170 S=|\NO} \hbox{\verb|180 PRINT "a(";|\NO \verb|;")=" ;|\NO} \hbox{\verb|190 NEXT K|} \hbox{\verb|200 PRINT "S=";S|} \hbox{\verb|210 END|} }} %%%%%% \SubToi \ResetNo[1]\NO 〜\ResetNo[3]\NO に当てはまるものを，次の $\MARU0〜\MARU5$ のうちから一つずつ選び，プログラムを完成させよ。 \[ \begin{array}{llll} \MARU{0}\ {\tt A} \hskip50pt & \MARU{1}\ {\tt K} \hskip50pt & \MARU{2}\ {\tt S} \\ \MARU{3}\ {\tt T} \hskip50pt & \MARU{4}\ {\tt S+1} \hskip50pt & \MARU{5}\ {\tt S+K} \\ \end{array} \] \SubToi このプログラムを実行して，$N$ として 10 を入力すると，${\tt a(1)}$ から ${\tt a\LP \NO \RP }$ までと ${\tt S=\NNO}$ が表示される。このとき，{\tt 150} 行は \NO 回実行され，そのうち \NO 回は {\tt 160} 行の実行に進んだ。 \SubToi 最初のプログラムで {\tt 140} 行を $\hbox{\verb|140 IF INT(K/2)