\documentclass[b4paper,twocolumn,fleqn]{jarticle} \usepackage{epic,eepic,eepic2,amssymb,amsmath,picins,mathtips,wrapfloat,schlmath} %\usepackage{txfonts} %%%%%%%%%% 角藤版は{timesnewp.sty} %%%%%%%%%%% %\usepackage{timesnewp} %\usepackage{mathmnsx} %\usepackage{mathmnsxx} \Shiken%% 試験用の余白が少ない設定 \setlength{\columnseprule}{0.4pt} \setlength{\columnsep}{1zw} \setlength{\mathindent}{40pt} \pagestyle{empty} \def\HIDDEN{0} \def\LabelNo{\KANA\theLocalNumber\hskip 1pt plus 5pt minus 1pt} \def\MTab{\hspace{1cm}} \def\Tab{\hskip30pt} \def\LabelToi{{\bf 第\theToi 問} } \def\LabelSubToi{[\,\theSubToi\,] } \def\LabelSubSubToi{(\theSubSubToi) } \BoxLineHuto%空欄の枠を太くする。 %\setlength{\fboxrule}{1.0pt}%囲み罫線の太さを変える　標準は{0.4pt} \def\LP{\left(} \def\RP{\right)} \def\Lp{\left[} \def\Rp{\right]} \def\HS{\hskip 1cm minus 0.8cm} \def\lP{\left\{} \def\rP{\right\}} \def\Neq{\;{\ooalign{\hfil$\setminus$\hfil\crcr$=$}}\;}%%% \neq の代わり＝＼ %平行は $l\,/\!/ \,m$ でできる \newcommand{\Arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{\Big)}}{#1}} %graphicsを読み込むこと　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$と　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$ \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % 空欄の高さを変更した % \def\BoxHeight{.8} \twocolumn[\TitleNoName{H16センター数学I・A 2004/01/18　No.1}] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Toi {\bf (必答問題)}(配点~40) %%%%%%% \SubToi $a$ を定数とし，2 次関数 \[ y = -x^2+(2a-5)x-2a^2+5a+3 \] のグラフを $C$ とする。 \SubSubToi グラフ $C$ の頂点の座標は \[ \LP \FRAC{2a-\NO}{\NO},\ \FRAC{-4a^2+\NNO}4 \RP \] である。 %%%%% \SubSubToi グラフ $C$ と $x$ 軸が異なる 2 点で交わるための $a$ の範囲は \[ -\FRAC{\sqrt{\NNO \MarkNO1}}{\NO \MarkNO2} < a < \FRAC{\sqrt{\CallNO1}}{\CallNO2} \ \cdots\cdots \MARU1\] である。 %%%%% \SubSubToi $a$ は \MARU1 を満たす整数とする。このとき，グラフ $C$ と $x$ 軸との二つの交点の $x$ 座標がともに整数となるのは，$a=\NO$ または $a=\NNO \MarkNO3$ の場合であり，その場合に限る。$a=\CallNO3$ のとき，交点の $x$ 座標は $\NNO$ と $\NNO$ である。ただし，$\ResetNo[-4]\NNO$ と $\NNO$ は解答の順序を問わない。 \vfill %%%%%%% \SubToi 一つのさいころを 2 回続けて投げ，出た目の数を順に $a,\ b$ とするとき，$u=\FRAC ab$ とおく。 %%%%% \SubSubToi $u=1$ である確率は $\FRAC{\NO}{\NO}$ である。 \vfill %%%%% \SubSubToi $u>1$ である確率は $\FRAC{\NO}{\NNO}$ である。 \vfill %%%%% \SubSubToi $u$ が整数になる確率は $\FRAC{\NO}{\NNO}$ である。 \vfill %%%%% \SubSubToi $T$ を次で定義する。 \hskip30pt $u$ が整数になる場合 $\RENRITU{ u が偶数ならば T=u \\ u が奇数ならば T=1}$ \hskip30pt $u$ が整数にならない場合 $T=0$ このとき，$T$ の期待値は $\FRAC{\NNO}{\NNO}$ である。 \vfill \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ResetNo[0] \Toi {\bf (必答問題)}(配点~40) %%%%%%% \SubToi $m,\ n$ を整数とする。$x$ の整式 \[ A = x^3+m\,x^2+n\,x+2m+n+1 \] を考える。 \SubSubToi $x$ の整式 $B$ を \[ B=x^2-2x-1 \] とする。$A$ を $B$ で割ると，商 $Q$ と余り $R$ はそれぞれ \[ Q=x+\LP m+ \NO \RP \] \[ R=\LP 2m+n+ \NO \RP x+ \LP 3m+n+\NO \RP \] である。 　また，$x=1+\sqrt{\,2}$ のとき，$B$ の値は $\NO$ であり，さらにこのとき，$A$ の値が $-1$ であるならば，$m,\ n$ は整数だから， \[ m=\NO,\ n=\NNO \] である。\vfill \SubSubToi 次の $\NO\MarkNO1$ に当てはまるものを，下の $\daen{0} 〜 \daen{5}$ のうちから一つ選べ。 　$x$ がどのような奇数であっても $A$ の値が常に偶数になるための必要十分条件は $\CallNO1$ となることである。 \[ \begin{array}{lll} \daen{0}\ m が奇数 \hskip18pt & \daen{1}\ n が奇数 \hskip18pt & \daen{2}\ m-n が奇数 \\ \daen{3}\ m が偶数 \hskip18pt & \daen{4}\ n が偶数 \hskip18pt & \daen{5}\ m-n が偶数 \end{array} \] \vfill %%%%%%%%%%%%% \SubToi 平面上に 2 点 O,\ P があり，${\rm OP=\sqrt{\,6}}$ である。点 O を中心とする円 O と点 P を中心とする円 P が，2 点 A,\ B で交わっている。円 P の半径は 2 であり，$\Kaku{\rm AOP}=45\DEG$ である。このとき，円 O の半径は \[ \sqrt{\NO\MarkNO2}+\NO\MarkNO3 \ または \ \sqrt{\CallNO2}-\CallNO3 \] である。 　以下，円 O の半径が $\sqrt{\CallNO2}-\CallNO3$ のときを考える。 \[ {\rm AB}=\sqrt{\NO}-\sqrt{\NO} \] である。 \bigskip 　また，OA の A 側への延長と円 P との交点を C とするとき，三角形 ABC について， \[ \Kaku{\rm BAC}=\NNNO \DEG,\ {\rm BC}=\NO \sqrt{\NO} \] である。　\vfill %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \twocolumn[\TitleNoName{H16センター数学I・A 2004/01/18　No.2}] \ResetNo[0] \def\LabelSubToi{(\theSubToi) } \def\LabelSubSubToi{\theSubSubToi.\hskip10pt } \Toi {\bf (選択問題)}(配点~20) %%%%%%%%%%%% \SubToi 整数からなる等比数列 $\{\,a_n\,\}$ が，$a_1+a_2=32,\ a_4+a_5=864$ を満たしている。このとき， \[ a_n=\NO \cdot \NO^{n-1} \] であり， \[ \SUM_{k=1}^n (a_k+4k-2)= \NO \cdot \NO^n+\NO n^2-\NO \] となる。 \bigskip %\vfill %%%%%%%%%%% \SubToi 分数 $\FRAC9{37}$ を小数で表したときに小数第 $n$ 位に現れる数を $b_n$ とする。すべての自然数 $n$ に対して $b_{n+p}=b_n$ となる最小の自然数 $p$ は $\NO$ であり， \[ \SUM_{k=1}^{100} b_k= \NNNO \] である。 \vfill \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ResetNo[0] \Toi{\bf (選択問題)}(配点~20) 　1 辺の長さが 1 の正方形 ABCD の辺 BC を 1 : 3 に内分する点を E とする。D を中心とする半径 1 の円と，線分 DE との交点を F とする。点 F におけるこの円 D の接線と辺 AB,\ BC との交点をそれぞれ G,\ H とする。さらに直線 GE と直線 BD との交点を I とする。$\NO[6]$ 〜 $\NO[10]$ には，次の $\daen{0}$ 〜 $\daen{\rm F}$ のうちから正しいものを一つずつ選べ。\ResetNo[0] \bigskip \[ \begin{array}{llllll} \daen{0}\ {\rm EH} \hskip5pt & \daen{1}\ {\rm FD} \hskip5pt & \daen{2}\ {\rm FE} \hskip5pt & \daen{3}\ {\rm GE} \hskip5pt & \daen{4}\ {\rm GF} \hskip5pt & \daen{5}\ {\rm GH}\\ \daen{6}\ {\rm GI} \hskip5pt & \daen{7}\ {\rm GJ} \hskip5pt & \daen{8}\ {\rm IE} \hskip5pt & \daen{9}\ {\rm JB} \hskip5pt & \daen{\rm A}\ {\rm BEI} \hskip5pt & \daen{\rm B}\ {\rm BIE} \\ \daen{\rm C}\ {\rm EBI} \hskip5pt & \daen{\rm D}\ {\rm EFG} \hskip5pt & \daen{\rm E}\ {\rm FEG} \hskip5pt & \daen{\rm F}\ {\rm FGE} \hskip5pt & & \end{array} \] \PIC{-150}{800}{-50}{800}{ \path(0,0)(800,0)(800,800)(0,800)(0,0) \path(0,0)(800,800) \path(200,0)(800,800) \path(530,0)(0,400) \path(200,0)(0,400) \put(800,800){\arc{1600}{1.57}{3.14}} \put(800,800){\circle*{10}} \put(0,0){\circle*{10}} \put(800,0){\circle*{10}} \put(0,800){\circle*{10}} \put(200,0){\circle*{10}} \put(0,400){\circle*{10}} \put(530,0){\circle*{10}} \put(320,160){\circle*{10}} \put(133.3,133.3){\circle*{10}} \put( -10,810){\makebox(0,0)[rb]{A}} \put( -10,-10){\makebox(0,0)[rt]{B}} \put( 810,-10){\makebox(0,0)[tl]{C}} \put( 810,810){\makebox(0,0)[bl]{D}} \put( 200,-10){\makebox(0,0)[t]{E}} \put( -10,400){\makebox(0,0)[r]{G}} \put(340,160){\makebox(0,0)[l]{F}} \put(530,-10){\makebox(0,0)[t]{H}} \put(115,133){\makebox(0,0)[r]{I}} } \ResetNo[0] \SubToi 点 I が $\SANKAKU{\rm BGH}$ の内心であることを示す。E は BC を 1 : 3 に内分するから \[{\rm EC}=\FRAC{\NO}{\NO} \] である。$\SANKAKU{\rm ECD}$ において三平方の定理$(ピタゴラスの定理)$を用いれば \[{\rm ED}=\FRAC{\NO}{\NO} \] となる。よって，${\rm EF}=\FRAC{\NO}{\NO}$ である。 \bigskip 　$\SANKAKU{\rm GBE}$ と $\SANKAKU{\rm GFE}$ は直角三角形で，斜辺 GE を共有し， ${\rm BE}=\NO$ であるから $\SANKAKU{\rm GBE} \equiv \SANKAKU{\rm GFE}$ が成り立つ。ゆえに $\Kaku{\rm BGE}=\Kaku{\NO}$ となる。一方， \[ \Kaku{\rm GBI} =45\DEG =\Kaku{\NO} \] であるから I は $\SANKAKU{\rm BGH}$ の内心であることがわかる。 \SubToi 次に，$\SANKAKU{\rm BGH}$ の内接円 I の半径 $r$ を求める。${\rm GA=GF=GB}$ なので，G は AB の中点であることがわかる。I から GB に下ろしと垂線と GB との交点を J とする。${\rm JI}=\NO=r$ であって ${\rm JI \parallel BE}$ であるから \[ {\rm GB : BE} =\NO : {\rm JI} \] が成り立つ。ゆえに $r=\FRAC{\NO}{\NO}$ となる。 \vfill %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \twocolumn[\TitleNoName{H16センター数学I・A 2004/01/18　No.3}] \ResetNo[0] \Toi {\bf (選択問題)}(配点~20) 　次のプログラムを考える。ただし，${\tt 120}$ 行の ${\tt THEN}$の後は，コロン「：」で区切られた複数の命令をその順に実行させるものである。 \ResetNo[0] \medskip \hskip20pt %\leavevmode \hbox{\vbox{ \hbox{\verb|100 INPUT "A=";A|} \hbox{\verb|110 INPUT "B=";B|} \hbox{\verb|120 IF B <= 0 THEN PRINT "B <= 0 です。終了します。"|} \hskip10pt \hbox{\verb| : GOTO 240|} \hbox{\verb|130 X=0|} \hbox{\verb|140 Y=A|} \hbox{\verb|150 IF A < 0 THEN GOTO 200|} \hbox{\verb|160 IF Y < B THEN GOTO 230|} \hbox{\verb|170 X = X + 1 |} \hbox{\verb|180 Y = Y - B |} \hbox{\verb|190 GOTO 160|} \hbox{\verb|200 X = X - 1 |} \hbox{\verb|210 Y = Y + B |} \hbox{\verb|220 IF Y < 0 THEN GOTO 200|} \hbox{\verb|230 PRINT "X は"; X; ", Y は"; Y; "です。"|} \hbox{\verb|240 END|} }} %%%%%% \SubToi ${\tt A = ?}$ に対して 50，${\tt B = ?}$ に対して 11 を入力すると，{\tt 170} 行は $\NO$ 回，{\tt 210} 行は $\NO$ 回実行され， \[ {\tt X} は \NO,\ {\tt Y} は \NO です。 \] と表示される。 \SubToi ${\tt A = ?}$ に対して $-50$，${\tt B = ?}$ に対して 6 を入力すると，{\tt 170} 行は $\NO$ 回，{\tt 210} 行は $\NO$ 回実行され， \[ {\tt X} は \NNO,\ {\tt Y} は \NO です。 \] と表示される。 \SubToi ${\tt A = ?}$ に対して $14.9$，${\tt B = ?}$ に対して $2.5$ を入力すると，{\tt X} の値として \[ {\tt X} は \NO \] と表示され，その右に {\tt Y} の値として表示される数を既約分数で表すと $\FRAC{\NNO}{\NO}$ となる。 \vfill \end{document}