\documentclass[b4paper,twocolumn,fleqn]{jarticle} \usepackage{epic,eepic,eepic2,amssymb,amsmath,picins,mathtips,wrapfloat,graphics,schlmath,alltt,ruby} %%%%%%%%%% 角藤版は{timesnewp.sty} %%%%%%%%%%% %\usepackage{timesnewp} %\usepackage{mathmnsx} %\usepackage{mathmnsxx} \Shiken%% 試験用の余白が少ない設定 \setlength{\columnseprule}{0.4pt} \setlength{\columnsep}{1zw} \setlength{\mathindent}{30pt} \pagestyle{empty} \def\HIDDEN{0} \def\LabelNo{\KANA\theLocalNumber\hskip 1pt plus 5pt minus 1pt} \def\MTab{\hspace{1cm}} \def\Tab{\hskip30pt} \def\LabelToi{{\bf 第\theToi 問} } \def\LabelSubToi{[\,\theSubToi\,] } \def\LabelSubSubToi{(\theSubSubToi) } \BoxLineHuto%空欄の枠を太くする。 %\setlength{\fboxrule}{1.0pt}%囲み罫線の太さを変える　標準は{0.4pt} \def\Fbox#1{\framebox{\scalebox{0.5}[0.5]{#1}}} %小さな指数の箱 \def\LP{\left(} \def\RP{\right)} \def\Lp{\left[} \def\Rp{\right]} \def\HS{\hskip 1cm minus 0.8cm} \def\lP{\left\{} \def\rP{\right\}} \def\Neq{\;{\ooalign{\hfil$\setminus$\hfil\crcr$=$}}\;}%%% \neq の代わり＝＼ %平行は $l\,/\!/ \,m$ でできる \newcommand{\Arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{\Big)}}{#1}} %graphicsを読み込むこと　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$と　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$ \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % 空欄の高さを変更した % \def\BoxHeight{.8} \twocolumn[\TitleNoName{H16センター数学II・B 2004/01/18　No.1}] \Toi~{\bf (必答問題)}(配点~30) %%%%%%%%%% \SubToi~不等式 \[ \log_2 (x-1)+\log_{\frac12} (3-x) \leq 0 \] を満たす $x$ の値の範囲は $\NO < x \leq \NO$ である。$x$ がこの範囲にあるとき \[ y=4^x-6 \cdot 2^x+10 \] の最大値と最小値を求めよう。 　$X=2^x$ とおくと，$X$ のとる値の範囲は $\NO < X \leq \NO$ であり \[ y=\LP X-\NO \RP^{\NO} +\NO \] である。したがって，$y$ は $x=\NO$ のとき最大値 $\NO$ をとり， $x=\log_2 \NO$ のとき最小値 $\NO$ をとる。 \vfill \SubToi $a$ を $0\DEG < a < 180\DEG$ を満たす角度とする。$0\DEG \leq \theta \leq 180\DEG$ の範囲で関数 \[ f(\theta)=\sin (\theta-a) - \sin \theta \] を考える。 %%%%%%% \SubSubToi 方程式 \[ f(\theta)=0 \] の解 $\theta$ は $a$ を用いて \[ \theta=\NNO^{\DEG} +\FRAC a2 \] と表される。さらに，この解 $\theta$ が $\sin (\theta-a)=\FRAC12$ を満たすならば \[ a=\NNNO^{\DEG} \] である。 \vfill \vfill %%%%%%% \SubSubToi~$a$ を $(1)$ で求めた角度とするとき，関数 $f(\theta)$ は \[ \theta=\NNNO^{\DEG} のとき最大値 \FRAC{\sqrt{\NO}}{\NO} \] \[ \theta=\NNO^{\DEG} のとき最小値 -\sqrt{\NO} \] をとる。 \vfill \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ResetNo[0] \def\LabelSubToi{(\theSubToi) } %%%%%%%%%%%%\%%%%%%%%%%%%%%%%% \Toi~{\bf (必答問題)}(配点~30) \SubToi 座標平面上の放物線 $y=x^2$ を $C$ とする。$a$ は $a \Neq 1$ を満たす実数とし，$C$ 上に点 P$ \LP a+1,\ (a+1)^2 \RP$ と点 Q$(2a,\ 4a^2)$ をとる。2 点 P,\ Q を通る直線を $\ell$ とすると，$\ell$ の方程式は \[ y=\LP \NO a+ \NO \RP x -\NO \,a^2-\NO\,a \] である。次に，$b$ は $b \Neq 1,\ b \Neq a$ を満たす実数として，2 点 \[ {\rm R}\LP b+1,\ (b+1)^2 \RP,\ {\rm S}(2b,\ 4b^2) \] を通る直線を $m$ とする。直線 $\ell,\ m$ の交点 T は $ {\small {\rm T}\LP \FRAC{\NO}{\NO}(a+b+1),\ \NO\,ab + \FRAC{\NO[-3]}{\NO}(a+b+1) \RP }$ である。よって，$b$ を限りなく $a$ に近づけるとき，点 T は限りなく点 $ {\small {\rm U}\LP \FRAC{\NO[7]}{\NO\MarkNO1} a+\FRAC{\NO}{\CallNO1},\NO a^2 + \FRAC{\NO[7]}{\NO} a+\FRAC{\NO}{ \CallNO1} \RP }$ に近づく。 \vfill %%%%%%%% \SubToi $(1)$ で求めた点 U は，$a$ の値によらない放物線 \[ D : y = \FRAC{\NO[11]\,x^2-\NO\,x+\NO}{\NO} \] 上にある。さらに，点 U における放物線 $D$ の接線の傾きは $\NO\,a+\NO$ である。放物線 $D$ の接線で原点 O を通るものは \[ y = x \ と \ y=\NNO\,x \] の二つである。 \vfill %%%%%%%% \SubToi 二つの放物線 $C,\ D$ の共有点の座標は $\LP \NO,\ \NO \RP$ である。放物線 $C,\ D$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積は $\FRAC{\NO}{\NO}$ である。 \vfill %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \twocolumn[\TitleNoName{H16センター数学II・B 2004/01/18　No.2}] \ResetNo[0] \Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20) 　点 A$(0,\ 0,\ 0)$ を通り，ベクトル $\VEC u=(1,\ 1,\ 0)$ に平行な直線を $\ell$ とする。また，点 B$(0,\ 5,\ -2)$ を通り，ベクトル $\VEC v=(1,\ 0,\ 1)$ に平行な直線を $m$ とする。$\ell$ 上の点 P から $m$ に下ろした垂線の足を P$'$ とする。また，$m$ 上の点 Q から $\ell$ に下ろした垂線の足を Q$'$ とする。${\rm PP'=QQ'}$ かつ $\VEC{PP'}\perp \VEC{QQ'}$ となる P と Q を求めよう。 [補足説明「点 P から $m$ に下ろした垂線の足」とは，点 P からひいた $m$ の垂線と $m$ との交点のことである。] \SubToi 実数 $t,\ t',\ s,\ s'$ により \[ \VEC{AP}=t\,\VEC u,\ \VEC{BP'}=t'\,\VEC v,\ \VEC{BQ}=s\,\VEC v,\ \VEC{AQ'}=s'\,\VEC u \] と表される。直線 PP$'$ と直線 $m$ が直交するから \[ t'=\NO+\FRAC{\NO}{\NO}\,t \] である。ベクトル $\VEC{PP'}$ の成分を $t$ を用いて表すと ${\scriptsize \VEC{PP'}=\LP \NO-\FRAC{\NO}{\NO}t,\NO-t,\NNO+\FRAC{\NO}{\NO}t \RP }$ である。同様に直線 QQ$'$ と直線 $\ell$ が直交するから \[ s'=\FRAC52+\FRAC12\,s \] である。ベクトル $\VEC{QQ'}$ の成分を $s$ を用いて表すと ${\scriptsize \VEC{QQ'}\!=\!\LP \! \FRAC{\NO}{\NO}\!-\!\FRAC{\NO}{\NO}s,\FRAC{\NNO}{\NO}\!+\!\FRAC{\NO}{\NO}s,\NO\!-\!s\RP }$ である。 \vfill %%%%%%%%%% \SubToi さて，${\rm PP'^2+QP'^2=PQ^2=QQ'^2+PQ'^2}$ であるから，${\rm PP'=QQ'}$ であるための条件は ${\rm QP'=PQ'}$ である。$\VEC{PQ'}=(s'-t)\VEC u,$ $\VEC{QP'}=(t'-t)\VEC v$ であるから，${\rm PQ'=QP'}$ となるのは \[ s=\NO -t \hskip100pt \cdots\cdots\cdots\cdots \ \MARU1 \] または \[ s=\NNO +t \hskip100pt \cdots\cdots\cdots\cdots \ \MARU2 \] のときである。 \vfill %%%%%%%%%% \SubToi $\MARU1$ が成り立つとき，$\VEC{PP'}$ と $\VEC{QQ'}$ が垂直になるのは $t=\NO\MarkNO1$ または $t=\NO\MarkNO2$ のときである。 $\LP \CallNO1 と \CallNO2 は解答の順序を問わない。 \RP$ \MARU2 が成り立つときは，$\VEC{PP'}$ と $\VEC{QQ'}$ が垂直になるような実数 $t$ の値はない。 \vfill \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ResetNo[0] \Toi~{\bf (選択問題)}(配点~20) %%%%%%%%%%% 　複素数 $z=x+y\,i \ (x,\ y は実数)$ は $y \Neq 0$ を満たし，かつ $1,\ z,\ z^2,\ z^3$ は相異なるとする。また， $z$ に共役な複素数 $\bar{z}=x-y\,i$ とする。 \SubToi 複素数平面において $1,\ z,\ z^2,\ z^3$ の表す点を ${\rm A_0,\ A_1,\ A_2,\ A_3}$ とする。線分 ${\rm A_0A_1}$ と線分 ${\rm A_2A_3}$ が両端以外で交わる条件を求めよう。線分 ${\rm A_0A_1}$ と線分 ${\rm A_2A_3}$ が両端以外の点 B で交わるとする。点 B を表す複素数を $w$ とする。点 B が線分 ${\rm A_0A_1}$ を $a : (1-a)$ に内分していれば \[ w=az+1-a \] と表される。ここで $0