\documentclass[b4paper,twocolumn,fleqn]{jarticle} \usepackage{epic,eepic,eepic2,amssymb,amsmath,picins,mathtips,wrapfloat,schlmath,ruby} \Shiken%% 試験用の余白が少ない設定 \setlength{\columnseprule}{0.4pt} \setlength{\columnsep}{1zw} \setlength{\mathindent}{50pt} \pagestyle{empty} \def\HIDDEN{0} \def\LabelNo{\KANA\theLocalNumber\hskip 1pt plus 5pt minus 1pt} \def\MTab{\hspace{1cm}} \def\Tab{\hskip30pt} \def\LabelToi{{\bf 第\theToi 問} } \def\LabelSubToi{〔\,\theSubToi\,〕} \def\LabelSubSubToi{(\theSubSubToi) } \BoxLineHuto%空欄の枠を太くする。 %\setlength{\fboxrule}{1.0pt}%囲み罫線の太さを変える　標準は{0.4pt} \def\LP{\left(} \def\RP{\right)} \def\Lp{\left[} \def\Rp{\right]} \def\HS{\hskip 1cm minus 0.8cm} \def\lP{\left\{} \def\rP{\right\}} \def\Neq{\;{\ooalign{\hfil$\setminus$\hfil\crcr$=$}}\;}%%% \neq の代わり＝＼ %平行は $l\,/\!/ \,m$ でできる \newcommand{\Arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{\Big)}}{#1}} %graphicsを読み込むこと　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$と　例 $\Arc{\text{C}\text{C}_1}$ \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % 空欄の高さを変更した % \def\BoxHeight{.8} \twocolumn[\TitleNoName{H17センター数学I・A 2005/01/16　No.1}] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Toi {\bf (必答問題)}(配点~40) %%%%%%% \SubToi $a$ を定数とし，$x$ の 2 次関数 \[ y = x^2-2(a+2)x+a^2-a+1 \] のグラフを $G$ とする。 \bigskip \SubSubToi グラフ $G$ と $y$ 軸との交点の $y$ 座標を $Y$ とする。$Y$ の値が最小になるのは $a=\FRAC{\NO}{\NO}$ のときで，最小値は $\FRAC{\NO}{\NO}$ である。このときグラフ $G$ は $x$ 軸と異なる 2 点で交わり，その交点の $x$ 座標は， \[ \FRAC{\NO \pm \sqrt{\NNO}}{\NO} \] である。 \vfill %%%%% \SubSubToi グラフ $G$ が $y$ 軸に関して対称になるのは $a=-\NO$ のときで，このときのグラフを $G_1$ とする。 　グラフ $G$ が $x$ 軸に接するのは，$a=-\FRAC{\NO}{\NO}$ のときで，このときのグラフを $G_2$ とする。 　グラフ $G_1$ を $x$ 軸方向に $\FRAC{\NO}{\NO}$ ，$y$ 軸方向に $\NNO$ だけ平行移動するとグラフ $G_2$ に重なる。　\vfill %%%%%%% \SubToi 大小 2 個のさいころを投げ，出た目の数をそれぞれ $a,\ b$ とし，2 次関数 $y=x^2-\FRAC{b-2}{a}$ のグラフを $C$ とする。 \bigskip %%%%% \SubSubToi グラフ $C$ と $x$ 軸との共有点の個数が 0 個である確率(すなわちグラフ $C$ が $x$ 軸と共有点をもたない確率)は $\FRAC{\NO}{\NO}$ であり，共有点の個数が 1 個である確率は $\FRAC{\NO}{\NO}$ ，共有点の個数が 2 個である確率は $\FRAC{\NO}{\NO}$ である。 \vfill %%%%% \SubSubToi グラフ $C$ と $x$ 軸との共有点の個数の期待値は $\FRAC{\NO}{\NO}$ である。 \vfill %%%%% \SubSubToi グラフ $C$ と $x$ 軸とが共有点をもち，かつ共有点の $x$ 座標がすべて整数となる確率は $\FRAC{\NNO}{\NNO}$ である。 \vfill \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ResetNo[0] \Toi {\bf (必答問題)}(配点~40) %%%%%%% \SubToi $a,\ b$ を実数とし，$x$ の整式 \[ A = x^4+(a^2-a-1)\,x^2+(-a^2+b)\,x+b^3 \] \[ B = x^2-x-a \] を考える。$A$ を $B$ で割った商を $Q$ ，余りを $R$ とすると， \[ Q=x^2+x+a^{\NO} \] \[ R=(a+b)\,x+a^{\NO}+b^{\NO} \] である。 \bigskip \SubSubToi $R=x+7$ のとき，$a=\NO$ または $a=\NNO$ である。 \vfill %%%%%% \SubSubToi $\NO\MarkNO1$ と $\NO\MarkNO2$ に当てはまるものを，下の $\daen{0} 〜 \daen{3}$ のうちから一つずつ選べ。 \hskip5pt (\!@\!)\ $a<-\FRAC12$ は，すべての実数 $x$ に対して $Q>0$ となるための $\CallNO1$ 。 \hskip5pt (\!A\!)\ $a+b=0$ は，$A$ が $B$ で割り切れるための $\CallNO2$ 。 \[ \begin{array}{l} \daen{0}\ \ 必要十分条件である \\ \daen{1}\ \ 必要条件であるが十分条件ではない \\ \daen{2}\ \ 十分条件であるが必要条件ではない \\ \daen{3}\ \ 必要条件でも十分条件でもない \\ \end{array} \] \vfill %%%%%%%%%%%%% \SubToi 線分 AB を直径とする半円周上に 2 点 C,\ D があり， \[ {\rm AC=2\sqrt{\,5},\ AD=8},\ \tan \Kaku{\rm CAD}=\FRAC12 \] であるとする。 　このとき， \[ \cos \Kaku{\rm CAD}=\FRAC{\NO\sqrt{\NO}}{\NO} \] \[ {\rm CD=}\NO \sqrt{\NO} \] である。 \bigskip 　さらに， \[ \SANKAKU{\rm ADC} の面積は \NO \] \[ {\rm AB}=\NNO \] である。　\vfill %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \twocolumn[\TitleNoName{H17センター数学I・A 2005/01/16　No.2}] \ResetNo[0] \def\LabelSubToi{(\theSubToi) } \def\LabelSubSubToi{(\roman{SubSubToi})} \Toi {\bf (選択問題)}(配点~20) %%%%%%%%%%%% \SubToi 数列 $\{\,a_n\,\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n=\SUM_{k=1}^n \,a_k$ が \[ S_n=-n^2+24n\Tab (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots) \] で与えられるものとする。このとき，$a_1=\NNO,\ a_2=\NNO$ である。また $a_n<0$ となる自然数 $n$ の範囲は $n \geq \NNO$ であり， \[ \SUM_{k=1}^{40} |\,a_k\,|= \NNNO \] となる。 %\bigskip \vfill %%%%%%%%%%% \SubToi 初項 1 ，公比 3 の等比数列を $\{\,b_k\,\}$ とおく。各自然数 $n$ に対して，$b_k \leq n$ を満たす最大の $b_k$ を $c_n$ とおく。例えば，$n=5$ のとき \[ b_2=3,\ b_3=9 であり b_1